구간 합 알고리즘

구간 합은 합 배열을 이용하여 시간 복잡도를 더 줄이기 위해 사용하는 특수한 목적의 알고리즘이다. 코테에서 사용 빈도가 높아 꼭 알아두어야 한다고 했다.

 

구간 합의 핵심 이론

구간 합 알고리즘을 활용하려면 먼저 합 배열을 구해야 한다. 배열 A가 있을 때 합 배열 S는 다음과 같이 정의한다.

합 배열 S 정의

S [i] = A [0] + A [1] + A [2] + ... + A [i-1] + A [i]         // A [0]부터 A [i]까지의 합

 

합 배열은 기존의 배열을 전처리한 배열이라고 생각하면 된다. 이렇게 합 배열을 미리 구놓으면 기존 배열의 일정 범위의 합을 구하는 시간 복잡도가 O(N)에서 O(1)로 감소한다. 아래의 그림을 통해 합 배열을 좀더 자세히 설명해보자.

 

A [i] 부터 A[j] 까지의 배열 합을 합 배열 없이 구하는 경우, 최악의 경우는 i가 0이고 j가 N인 경우로 시간 복잡도는 O(N)이다. 이런 경우 앞에서 알아본 합 배열을 사용하면 O(1) 안에 답을 구할 수 있다. 합 배열은 다음과 같은 간단한 공식으로 만들 수 있다. 

합 배열 S를 만드는 공식

S [i] = S [i-1] + A [i]

 

이렇게 구현된 합 배열을 이용하여 구간 합 역시 쉽게 구할 수 있다. i에서 j까지 구간 합을 구하는 공식은 아래와 같다.

 

구간 합을 구하는 공식
S [j] - S [i-1]          // i에서 j까지 구간 합

 

구간 합 공식이 어떻게 나온 것인지 아래 그림을 통해 알아보자. 그림은 배열 A의 A[2]부터 A[5]까지의 구간 합을 합 배열을 통해 구하는 과정을 보여준다. 

그림을 보면 합 배열과 구간 합이 연관되어 있다는 것을 알 수 있다. A[0] + ... + A[5] 에서 A[0] + A[1]을 빼면 구간 합 A[2] + ... + A[5] 가 나오므로 S[5] 에서 S[1]을 빼면 구간 합을 쉽게 구할 수 있다. 합 배열만 미리 구해 두면 구간 합은 한 번의 계산으로 구할 수 있는 것이다. 

 

A[2] ~ A[5] 구간 합을 합 배열로 구하는 과정

S[5] = A[0] + A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5]
S[1] = A[0] + A[1]
S[5] - S[1] = A[2] + A[3] + A[4] + A[5]

 

합 배열과 구간 합 공식을 적재적소에 활용하면 코테에서 시간 복잡도를 줄이는데 많은 도움이 될 것이다.